Prob 2
Sumber: Ujian kombinatorik 3
Buktikan bahwa bilangan \({\underbrace{99\ldots9}_{2005}}^{2009}\) bisa diperoleh dengan cara menghapus beberapa digit pada bilangan \({\underbrace{99\ldots9}_{2008}}^{2009}\)
(1) Dengan menggunakan binomial, maka kedua bilangan diatas dapat ditulis menjadi \(\left\{{\underbrace{99\ldots9}_{k}}^{2009}={(10^{k}-1)}^{2009}=\displaystyle\sum_{r=0}^{2009}{-1}^{r}\binom{2009}{r}{10}^{k(2009-r)}\right\}_{k=\{2005,2008\}}\)
(2) Berdasarkan unimodal property dari binomial coefficient, anggota set \(B=\left\{\binom{2009}{r}:0\leq{r}\leq{2009}\right\}\) terbesar adalah \(\binom{2009}{1005}\)
(3) Karena \(\log_{10}{10}^{2008}>\log_{10}{10}^{2005}>\log_{10}{\binom{2009}{1005}}\) dan bentuk binomial (1), maka k digit terdepan dari \(\left\{{-1}^{r}\binom{2009}{r}{10}^{k(2009-r)}+{-1}^{r+1}\binom{2009}{r+1}{10}^{k(2009-(r+1))}\right\}_{k=\{2005,2008\}}\) dapat dipastikan sama dengan k digit terdepan dari \(\left\{{-1}^{r}\binom{2009}{r}{10}^{k(2009-r)}+{-1}^{r+1}\binom{2009}{r+1}{10}^{k(2009-(r+1))}+{-1}^{r+2}\binom{2009}{r+2}{10}^{k(2009-(r+2))}\right\}_{k=\{2005,2008\}}\) untuk setiap \(0\leq{r,(r+1),(r+2)}\leq{2009}\).
(4) \(k_{2}-k_{1}=2008-2005=3\).
(5) berdasarkan (3) dan (4), maka dapat dipastikan bahwa bilangan \({\underbrace{99\ldots9}_{2005}}^{2009}\) dapat dihasilkan dengan cara membagi habis digit dari bilangan \({\underbrace{99\ldots9}_{2008}}^{2009}\) dimana masing-masing bagian berisi 2008 digit angka, dan hilangkan 3 digit terdepan dari tiap-tiap bagian.
